Zobacz też część 2 – Niezrozumiana matematyka cz. 2 – matematyczne myślenie
Matematyka kojarzy się wielu osobom z niekończącymi się zadaniami, niezrozumiałymi wzorami które są wkuwane na pamięć oraz niepraktycznością. Skąd takie postrzeganie? Ze sposobu w jaki w wielu szkołach jest nauczana.
Esencją matematyki jest ścisły sposób myślenia w którym mamy jakieś założenia (wiedzę wstępną) oraz wnioski z tych założeń wynikające. Naturalnym sposobem poznawania różnych działów matematyki jest używanie ciekawości oraz eksperymentowanie. Eksplorowanie różnych tematów i kierunków działania.
Przykładowo możemy zacząć od przyglądania się różnym kształtom na kartce. Z nich wyróżnimy kilka grup np. wszystkie które mają 3 boki (trójkąty), 4 boki (czworokąty) oraz te, które są bardzo okrągłe i nie mają żadnych boków (elipsy). Dalej możemy popatrzeć na trójkąty i ich kąty. Na tej podstawie wyróżnić trójkąty z kątem prostym (trójkąty prostokątne) oraz te z wszystkimi kątami równymi. I pojawiają się pierwsze pytania – czy jak wszystkie kąty trójkąta są równe to boki też? Czy jak powiększymy trójkąt (zrobimy zoom) to jest to ten sam trójkąt? Czy jego kąty się zmienią? A co się dzieje z kątami i bokami gdy złapiemy jeden z rogów trójkąta i zaczniemy go rozciągać?
Zauważ proszę, że wszystko powyżej to tylko próba sklasyfikowania kształtów na kartce i nadawania im nazw. Może nie jest to zbyt fascynujące zajęcie, natomiast później ma duże implikacje. Jakie? Pole powierzchni (np. mieszkania do sprzedaży, ściany do pomalowania) jest mierzone w metrach kwadratowych, czyli ile kwadratów o boku 1m na 1m się zmieści na tej powierzchni. Kształty w modelach 3D na komputerze są często przedstawiane jako połączenia wielu trójkątów. Koła w samochodzie są w kształcie… koła. A w trakcie skrętu samochodu w lewo koło po lewej stronie obraca się wolniej niż koło po prawej stronie. Dlaczego? Bo promień skrętu dla lewego koła jest mniejszy niż dla prawego koła. Trzeba to uwzględnić w jego budowie – https://pl.wikipedia.org/wiki/Mechanizm_r%C3%B3%C5%BCnicowy .
Kiedyś przeczytałem piękne powiedzenie, które najlepiej to podsumowuje.
Matematyka to taka dziedzina która bierze rzeczy oczywiste, nie warte wspomnienia a wyciąga z nich takie wnioski, że nikt nie wie jak to możliwe.
Dlaczego więc nie rozumiemy matematyki?
Ponieważ w szkole nie jest uczone myślenie matematyczne a wyniki i produkty myślenia matematycznego. To tak jakby od osoby która robi sobie płatki z mlekiem wymagać, żeby umiała hodować krowy oraz uprawiać kukurydzę.
Produktem myślenia matematycznego są liczby, kształty (i ich podziały), wzory, równania i nierówności oraz cała gama ich zastosowań w życiu codziennym, nauce i technice. Ot choćby komputer na ekranie którego czytasz te słowa zamienia napięcie na 0 i 1 które pogrupowane reprezentują kolory które następnie są przetwarzane przez monitor na aktualny obraz. Czy dałoby się to zrobić bez matematyki? Absolutnie nie!
Ważne są zarówno produkty matematyki jak i myślenie matematyczne.
A dlaczego nie lubimy matematyki?
Bo to specyficzny sposób myślenia, który wymaga wyćwiczenia. Wnioski z danego fragmentu matematyki należy przećwiczyć żeby nabrać wprawy, więc pojawiają się zadania. Czasem dużo zadań. Jak do tego dołożymy, że sposobem nauczania matematyki w szkole jest wykuwanie na pamięć wzorów i twierdzeń oderwanych od rzeczywistości, to mamy przepis na zniechęcenie dowolnej osoby.
Matematyka wymaga dużego skupienia przez długi czas oraz uporządkowanych akcji. Czasem tą samą rzecz trzeba przeczytać kilka razy (na przestrzeni kilku dni) żeby zrozumieć. Jest to w dużej opozycji do typowych interakcji z informacją na co dzień. Tiktok, youtube, natychmiastowe odpowiedzi od AI, edutainment (czyli filmy trochę edukacyjne i w większości będące rozrywką). Te media podają łatwą do przyswojenia, płytką i natychmiastową informację. Powoduje to, że nasz umysł się rozleniwia, ma problemy ze skupieniem, nie potrafi radzić sobie z trudnym materiałem, od razu się frustruje.
Dodatkowo matematyka (i powiązane dziedziny jak programowanie) są dość brutalne i natychmiast pokazują co umiemy a co nie. Bo albo potrafimy rozwiązać zadanie, podać i uzasadnić wynik albo nie. Nie ma interpretacji artystycznej, nie da się wybrnąć błyskotliwą wypowiedzią albo przekierować uwagę. Dla wielu osób taka bezpośredniość i szczerość jest nie do zniesienia. Nie potrafią lub nie chcą się przyznać przed sobą (ani tym bardziej innymi), że „nie wiem”, „nie umiem”. W matematyce natomiast jest to naturalny cykl uczenia się i co chwilę czegoś nie wiemy. Niestety szkoła nas karze gdy czegoś nie wiemy (bo zła ocena, bo nauczyciel krzyczy lub wypowiada sarkastyczne zwroty). Presja społeczna też nie wpływa dobrze (bo pomyślą że jestem głupi(a)).
Jak możemy zmienić nasze postrzeganie matematyki?
Najlepiej znaleźć kogoś kto nam pomoże zmienić postrzeganie matematyki z poziomu czarnej magii do poziomu cudów ludzkiej inteligencji i wyzwań intelektualnych. Jeśli masz słabego nauczyciela, to nie obrażaj się na matematykę. Ona też jest ofiarą. Poszukaj alternatywnych źródeł wiedzy.
Ugruntuj podstawy. W matematyce kolejne działy często budują na poprzednich. Jeśli twoje podstawy są słabe (chwiejne) to kolejne lekcje będą nieprzyjemne. Poszukaj materiałów online, zapisz się na korepetycje, przeczytaj podręcznik a nie tylko opieraj się na tym co mówi nauczyciel(ka). Dowolna rzecz która dla ciebie zadziała. Najważniejsze, żebyś się czuł(a) swobodnie z tym co można robić a co nie np. z figurą albo równaniem i co to nam daje.
Szukaj powiązań między rzeczami, zadaniami i tematami. Jako ludzie zapamiętujemy przez powiązania, relacje, skojarzenia. Ciężej jest nam pamiętać oderwane od rzeczywistości fakty. Zbuduj więc mapę powiązań matematycznych, próbuj wizualizować rzeczy i zagadnienia. Ja np. zawsze wyobrażam sobie równania jak dwa ramiona wagi, gdzie przekładam ciężarki między nimi. Kształty można rozciągać, obracać albo przecinać (liniami, ale nożem też można :). Ułamki to cięcie tortu albo placka na kawałki itd.
Warto powiązać to co się uczymy w szkole z zagadnieniami z naszego otoczenia. (Przykłady poniżej w sekcji dla nauczycieli).
Zmień postrzeganie matematyki z czegoś co zostało nam dane razem z 10 przykazaniami od siły wyższej, na coś co stworzyliśmy jako ludzie swoją bystrością, przenikliwością i cierpliwością. I ty też możesz to odtworzyć i zrozumieć przy odrobinie pomocy ze strony nauczyciela.
Jak zmienić postrzeganie matematyki jeśli jej uczymy?
1. Spróbujmy pokazać jak eksplorować idee matematyczne a nie podawać gotowe wzory i twierdzenia do wykucia, bez zrozumienia skąd się wzięły. Postawmy na naturalną ciekawość ludzi, zamiast naukę na pamięć. Zadania traktujmy jak wyzwania, które należy pokonać (jak bossa w grze).
2. Połączmy to co się uczymy z przykładami z życia gdzie dana teoria jest używana w życiu.
Figury i powierzchnie? Oblicz pole pomieszczenia w którym jesteś. Zastanów się ile farby potrzebujesz na pomalowanie tej ściany przed tobą.
Równania? Chciałbym kupić cukierki na urodziny i mam 100zł budżetu. Ile cukierków będę miał dla 5 gości? A gdyby gości było 7, albo 10?
Kąty? Budujesz dom i chcesz go mieć na planie prostokąta. Jak sprawdzić czy zaznaczone linie na ziemi tworzą kąt prosty? A bez kątomierza? A czy ściany są pod kątem prostym do podłogi?
Geometria przestrzenna? Budujesz dom o wysokości ściany 3m z dachem o spadzie 30 stopni. Jak długa musi być belka w środku domu?
Logarytmy i funkcje wykładnicze? Ile bitów w komputerze potrzeba żeby przechowywać 256 odcieni każdego z 3 podstawowych kolorów – czerwony, zielony, niebieski? Ile to bajtów? A ile zajmuje 1 zdjęcie w rozdzielczości full hd jeśli nie będziemy je kompresować? A odkładając pieniądze na lokacie na 3%, ile będziemy mieli za rok, 2, 5, 10, 20? A co jeśli zmienimy procenty na 5% albo 10%? A jak są strojone instrumenty w muzyce? I ile dźwięków słyszymy? I jak się je klasyfikuje? I co to jest głośność?
Procenty? Inwestujesz na giełdzie w akcje 1000zł. Cena akcji spadła o 10% i wzrosła o 10%. Czy jesteś w tym samym miejscu? A co jeśli cena akcji spadnie o 50% i wzrośnie o 50%? Bierzesz pożyczkę na 1 000 000 zł na 30 lat na 10% rocznie. Ile ostatecznie spłacisz?
Czasem teoria zbudowana na danym zagadnieniu jest bardzo zaawansowana np. liczby urojone, które mają zastosowanie przy definiowaniu obrotów modeli w komputerze, opisu prądu zmiennego i transformacie Fouriera (koniecznie przeczytaj co to jest FFT i dlaczego jest skrajnie ważne! A jeśli nie znajdziesz nic dobrego na ten temat – napisz do mnie. Napiszę coś porządnego i łatwego do czytania). Jednak duża część matematyki, szczególnie tej przed studiami jest w miarę łatwa do pokazania na przykładach z życia.
3. Spróbuj się wstrzelić w to co interesuje uczniów
Ktoś gra w gry online? Może coś o dystrybucji wieku, płci i szybkości reakcji najlepszych graczy online? Plus czytanie wykresów z tymi danymi.
Ktoś pracuje w sadzie? Może coś o podliczaniu średniego zysku oraz sposobach dywersyfikacji i ich wpływu na zyski i straty?
Ktoś lubi gotować lub uczy się gastronomii? Może coś o proporcjach w sosach, ciastach, zupach?
A co z nauczycielami matematyki?
Przede wszystkim szanujmy nauczycieli matematyki i innych przedmiotów. Mają ciężką pracę i dużo obowiązków poza samym prowadzeniem lekcji rozumianym jako „gadanie do dzieci”. Kartkówki, prowadzenie dziennika, dyżury szkolne, spotkania z rodzicami (często roszczeniowymi), szkolenia, przygotowywanie lekcji, ogarnianie grupy, trzymanie się programów nauczania. Ja osobiście lubię uczyć, ale nigdy nie chciałbym być nauczycielem w szkole. A gdy już wykażemy im szacunek, damy trochę oddechu i upewnimy się, że nasze dzieci zachowują się na lekcjach jak poprawni uczniowie, to możemy zasugerować nauczycielom trochę inwencji w prowadzeniu lekcji. Bo jak nauczyciel ma przestrzeń to można w niej coś budować. A jak jest w trybie przetrwania to nic się nie zmieni.
Literatura
Głównie zagraniczna, choć niektóre z tych książek zostały przetłumaczone na polski.
How to solve it – George Polya – klasyczna pozycja jak rozwiązywać problemy, wydana również po polsku pod tytułem „Jak to rozwiązać”. Książkę bardziej traktuję jak książkę z przepisami niż jako podręcznik do nauki.
Mathematical problem solving – Alan Schoenfeld – opracowanie naukowe w którym autor bada i sugeruje co jest potrzebne żeby móc efektywnie rozwiązywać problemy matematyczne. Ja traktuję to jako kontynuację „How to solve it”. Wspaniała pozycja. Polecam serdecznie. W pierwszych działach jest krótkie podsumowanie treści bez głębokiego wchodzenia w szczegóły. Warto więc przeczytać chociaż początek.
5 elements of effective thinking – Edward Burger, Michael Starbird – świetna książka o tym jak myśleć lepiej przy rozwiązywaniu problemów. Nie koniecznie w kontekście matematyki.
The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking – Edward Burger, Michael Starbird – całkiem dobre opracowanie różnych działów matematyki z nastawieniem, żeby zachęcić czytelnika do myślenia.
Think like a programmer – Anton Spraul – książka o programowaniu, ale napisana w sposób który zachęca do myślenia a nie tylko zapamiętania. Jest po polsku jako „Myśl jak programista”.
Literatura 2
Dawno nie sprawdzałem, jakie pozycje wyszły w kontekście myślenia matematycznego. Amazon sugeruje mi kilka podobnych pozycji, więc je tutaj wymienię. Może warto je rozważyć?
Math Letters: Discover a different side of mathematics – W. B. Schaefman
Math-ish: A Groundbreaking Guide to Finding Joy and Understanding in Mathematics – Jo Boaler
Thinking Mathematically – Robert Blitzer
Inne
https://www.khanacademy.org oraz https://www.youtube.com/@khanacademy/playlists – najlepsze, robione na luzie ale treściwe tłumaczenie matematyki jakie znalazłem. W razie potrzeby na yt powinny być dostępne automatyczne napisy po polsku.
Zobacz też część 2 – Niezrozumiana matematyka cz. 2 – matematyczne myślenie